Question

数学图形题

如图，在直角三角形ABC中，角C=90°，AC=4厘米，BC=3厘米，点P有B出发沿BA方向1厘米/秒匀速运动，点Q有A出发沿AC方向2厘米/秒向点C匀速运动。连接PQ,设运动时间为t(s) (0<t<2).
问是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把三角形ABC的周长和面积同时平分？存在则求出t的值；不存在则说明理由

Answer 1

假设存在某一时刻t，使线段PQ恰好把三角形ABC的周长和面积同时平分。
则BP＝1×t＝t,AP＝5－t,AQ＝2t. AB＝√3²＋4²＝5.
∴AP＋AQ＝1/2（AB＋AC＋BC）,
∴ 5＋t＝6,t＝1
又因为△APQ的面积＝1/2△ABC的面积,
即1/2×AP×AQ×sinA＝1/2×AB×AC×sinA×1/2
∴AP×AQ＝1/2×AB×AC,
即（5－t）×2t＝1/2×5×4
t²－5t＋5＝0
解此方程t≠1
∴不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把三角形ABC的周长和面积同时平分。

Answer 2

不存在
假设存在则有t+2t=6 解得t=2
有三角形面积公式s=(1\2)absin∠A 得 s=(1\2)(5-t)2t*(3\5)=6 用2代入不满足该式，不存在此时间点

Answer 3

假设存在某一时刻t，使线段PQ恰好把三角形ABC的周长和面积同时平分。
则BP＝1×t＝t,AP＝5－t,AQ＝2t. AB＝√3²＋4²＝5.
∴AP＋AQ＝1/2（AB＋AC＋BC）,
∴ 5＋t＝6,t＝1
△APQ的面积＝1/2△ABC的面积,
即1/2×AP×AQ×sinA＝1/2×AB×AC×sinA×1/2
∴AP×AQ＝1/2×AB×AC,
即（5－t）×2t＝1/2×5×4
t²－5t＋5＝0
解此方程t≠1
∴不存在某一时刻t。