Question

一道高一的数学函数题

若函数y=f（x）对任意x，y属于R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）。（1）求证：y=f（x）是奇函数。（2）若f（-3）=a，求f（24）

Answer 1

令x=y=0,则f(0)=2f(0)，则f(0)=0,再令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,则f（x)=-f(-x),即y是奇函数。2. f(3)=-f(-3)=-a,f(24)=f(3)+f(18)=……=8f(3)=-8a.
谢谢，希望对你有所帮助~

Answer 2

（1）令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,令x=-y,
f(0)=f（x）+f（-x） f（-x)=-f（x） 为奇函数
（2）f（3）=-f（-3）=-a
f（24）=8f(3)=-8a

Answer 3

令x=y=0；f（x+y）=f（x）+f（y）
就是f（0+0）=f（0）+f（0）
就是f（0）=2f（0）
解得f（0）=0
令x=-y
则f（x+y）=f（-y+y）=f（0）=f（x）+f（y）=f（-y）+f（y）
就是f（0）=f（-y）+f（y）
而f（0）=0
就是f（-y）+f（y）=0
就是f（y）=-f（-y） 奇函数
（2）
利用f（x）奇函数f（3）=-a
令x=y=3
则f（3+3）=f（6）=2f（3）=-2a
同理f（12）=2f（6）=-4a
f（24）=2f（12）=-8a