Question

高数介值定理。

若f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<....<xn<b,则在(x1,xn)内至少存在一点c,使得f(c)=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n
求证明。

Answer 1

因为f(x)在[a,b]上连续，所以在[a,b]上存在最大值M，最小值N；即对于一切x∈[a,b],有N<=f(x)<=M;
因此有
N<=f(x1)<=M；
N<=f(x2)<=M；
...
N<=f(xn)<=M；
上式相加，得nN<=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)<=nM
于是
N<=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n<=M
所以在(x1,xn)内至少存在一点c，使得f(c)=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n

Answer 2

证明:根据连续函数在闭区间上的最大值和最小值定理，知:f(x)在闭区间[a,b]上存在点，使得最大值和最小值存在，分别为M和m。
所以，m<f(x1)<M,m<f(x2)<M,…,m<f(xn)<M。
因此，不等式相加得:nm<f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<nM，两边同除n，得m<[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n<M。
根据介值定理，在[a,b]上，至少存在一点c，使得，f(c)=[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n。
得证，