Question

高分（80分 ＋＋）求解 数学题目

Answer 1

When x=0,

g(0)+g(0)=1+g(0)

so g(0)=1

Then

g(1/x)+g(-1/x)=2

g(x)=xg(1/x)

g(x)/x+g(-x)/-x=2

So, g(x)-g(-x)=2x
g(x)+g(-x)=2

Therefore, g(x)=x+1

Answer 2

1. 因为抛物线y=x^2与直线y=x-2不相交，故距离最短点处（x0,y0）斜率应该等于直线斜率1，故2*x0=1，所以x0=1/2，y0=1/4，即所求点为（1/2

Answer 3

a式对于所有不等于零的数成立，不代表原函数当x=0时无意义
故令b中的x，y都等于零
得g（0）+g（0）=1+g（0）
所以g（0）=1
令b中y=-x
得g（x）+g（-x）=2.................（1）
将a中x替换为-x
得g（-x）=-x*g（-1/x）
原式a：g（x）=x*g(1/x) ,此两式相加得
g（x）+g（-x）=-x*g（-1/x）+x*g(1/x)=2
将-x*g（-1/x）+x*g(1/x)=2中替换为1/x
得-1/x*g(-x)+1/x*g(x)=2
两边同时乘以x得
g（x）-g（-x）=2x.................（2）
联立（1），（2）两式，解得
g（x）=x+1

Answer 4

解：
g(x)+g(y)=1+g(x+y)
令x=0,y=0
g(0)+g(0)=1+g(0)
g(0)=1
令y=-x
g(x)+g(-x)=1+g(0)=2，为定值。
g(x)-1+g(-x)-1=0
f(x)=g(x)-1为奇函数。
g(x)=xg(1/x)
g(x)-1=xg(1/x)-1，xg(1/x)-1也是奇函数
(-x)g(-1/x)-1=-xg(1/x)+1
x[g(1/x)-g(-1/x)]=2
g(1/x)-g(-1/x)=2/x
1/x换成x
g(x)-g(-x)=2x (1)
g(x)+g(-x)=2 (2)
(1)+(2)
2g(x)=2x+2
g(x)=x+1

这样的函数存在，就是g(x)=x+1

Answer 5

for any two real numbers 意思是说令y等于无穷小（dx,多尔塔x打不出来，理解一下）也可以，虽然无穷小不是实数，但是它是实变量（见实分析）。

于是由第二个式子（令y=dx）(g(x+dx)-g(x))/dx=(g(dx)-1)/dx=(g(dx)-g(0))/dx=g'(0) (g（0）=1参看上面的仁兄推导)(导数定义，由此可见g（x）可导)
即g'(x)=g'（0）.
记g'(0)=a,则g（x）=ax+1 (g（0）=1)带到（a）式中得a=1.
所以g（x）=x+1 。

只是大致过程，楼主自己理解。