Question

初二数学竞赛题

已知：E、F是等腰三角形ABC的两腰AB和AC上的点，AE=CF.
求证：EF≥1/2BC

Answer 1

首先添加一些辅助线

如图，作EH‖BC交AC于G，过C作CH‖AB交EH于H，

过F作SD‖BC分别交AB、CG于S、D

可得EBCH为平行四边形，EH=BC,

ESFG和GFDH为等腰梯形，

可以得证三角形EGF和FDH全等

所以EF=FH  2EF=EF+FH>=EH=BC 

所以  EF>=1/2BC (当E、F分别为AB、AC中点时取等号）

Answer 2

作△ABC的中位线GH,交AB于G,交AC于H。
①当EF于GH重合时，EF＝1/2BC.
②当E点在线段AG上，则F点在线段HC上。
∵AG＝HC,AE＝CF
∴EG＝HF
AG＝x,EG＝a,
则AE＝x－a, AF＝x＋a
GH²＝AG²＋AH²－2AG×AH×cos∠A
＝2x²－2x×cos∠A
EF²＝AE²＋AF²－2AE×AF×cos∠A
＝（x－a）²＋（x＋a）²－2（x－a）｛x＋a）cos∠A
＝2x²＋2a²－2x²cos∠A＋2a²cos∠A
EF²－GH²＝2a²＋2a²cos∠A＝2a²（1＋cos∠A）
∵1＋cos∠A＞0 （∠a＜180°）
∴EF²－GH²＞0
∴EF＞GH＝1/2BC
③当E点在线段GB上，则F点在线段AH上.
同理可证 EF＞1/2BC

∴EF≥1/2BC

Answer 3

证明:设AB=AC=a,AE=x,AF=a-x,三角形AEF中,由余弦定理EF^2=AE^2+AF^2-2AEAF
=a^2-2(cos+1)(-x^2+ax)当2x=a,EF^2最小,此时EF最小且为中位线,2EFmin=BC,命题得证

Answer 4

1. (a b c)^3=a^3 b^3 c^3 3a^b 3a^c 3ab^ 3ac^ 3b^c 3bc^ 6abc=1 (a^3 b^3 c^3) 3(a^b a^c ab^ ac^ b^c bc^) 6abc

Answer 5

把中位线做出来，再看看，这里不能给图，不好说