Question

设二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a，b，c都为实数），f（1）=－a／2，a＞2c＞b，

设二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a，b，c都为实数），f（1）=－a／2，a＞2c＞b，
⑴ 判断a 和b的符号
⑵证明函数f（x）至少有一个零点在区间（0， 2）内
要解析 要过程 谢谢

Answer 1

因为f（x）=ax^2＋bx＋c，所以f（1）=a+b+c=－a／2，化简得2b+2c=-3a.（1）
若b>0,a＞2c＞b,则abc都大于零。与（1）矛盾。所以b<0.
变形(1)2b=-3a-2c=-4a+(a-2c).a＞2.所以2b（负数）=-4a+一个正数。所以a一定大于零。
a>0.b<0
至于第二题只要证明f（0）和f（2）是异号的就能说明（0， 2）内有至少一个根
f（0）=c=-3a/2-b.f（2）=4a+2b+c=5a/2+b
f（0）*f（2）=-(3.75a^2+4ab+b^2),因为ab异号，所以括号内的都是正数，即
f（0）*f（2）<0,所以f（x）至少有一个零点在区间（0， 2）内。

Answer 2

f(1)= -a/2 把1代入f(x) a+b+c= -a/2
得到3a+2b+2c=0推出2c=-3a-2b 代入a>2c>b得到a>-3a-2b>b 得到-1/2b<a<-b 再看3a+2b+2c=0应该可以知道a为正b为负

Answer 3

简单说下思路，详细过程自己补充
（1）
由已知条件容易得出c=-(3a/2+b)及-b/2<a<-b
由-b>-b/2得b<0,又a>-b/2得a>0
(2)
f（x）=ax^2＋bx＋c=ax^2+bx-(3a/2+b)
f(x)=0两根x1={-b-根[b^2+6a^2+4ab]}/2a,x2={-b+根[b^2+6a^2+4ab]}/2a
b^2+6a^2+4ab=2a^2+(2a+b)^2>0（a>0)则两实根均存在
得-b/2<a<-b，得1<-b/a<2
x2=1/2{-b/a+根[(-b/a)^2-4(-b/a)+6}
=1/2{-b/a+根[(-b/a-2)^2+2}
又1<-b/a<2
x2>1/2(-b/a+根0)>1/2*1>1/2 即x2>1/2
x2<1/2{2+根[(1-2)^2+2]}=(2+根3)/2<(2+根4)/2=2即x2<2
得2>x2>1/2>0

所以f（x）至少有一个零点在区间（0， 2）内