Question

在数列（an）中，a1=1,an+1=4an+3×2^n+1,求an,

Answer 1

待定系数法
a<n+1>+s2^(n+1)+t=4(a<n>+s2^n+t)
比较系数得出
2s=3
3t=1
所以s=3/2，t=1/3
a<n+1>+(3/2)2^(n+1)+1/3=4[a<n>+(2/3)2^n+(1/3)]
所以{a<n>+(2/3)2^n+(1/3)}是公比为4的等比数列
a<n>+(2/3)2^n+(1/3)=[a<1>+(2/3)2+(1/3)]2^(n-1)
a<n>=[2^(n+1)-1]/3

其实还有一种更简单的方法，等你学了线性方程再说吧。

Answer 2

可以这样假设 an+1+k*2^（n+1）=4(an+k*2^n)
与原来的式子比较得到 k=3
∴an+1+3*2^（n+1）=4(an+3*2^n)
∴{an+3*2^n}是以a1+6=7为首项，以4为公比的数列
∴an+3*2^n=7*4^（n-1）
∴an=7*4^（n-1）-3*2^n