Question

关于函数极限的问题

lim(x-->0)[cos(narccosx)]/x=?

要有解答过程~
n为奇数
不能使用洛必达法则.

Answer 1

1.n=2k
极限为∞

n=2k+1
极限用洛必达法则
lim sin(narccosx)*n*1/sqrt(1-x^2)=nsin(nπ/2)
2.n=4k+1，极限为n
3.n=4k+3，极限为-n

没学过？
那应该知道lim sinx/x=1，lim arcsinx/x=1 否则没法做
就算如此，这个中间的过程就复杂了。
洛必达法则是最好的
无穷小/无穷小或者无穷大/无穷大
可以用上下分别求导，
如果后者存在或为无穷，则等于前者；若后者不存在，则不能保证前者一定存在。

等价无穷小代换总会吧，比如limA/limB=1,则可以在极限
lim CA=lim CA/B*B=lim CB*lim (A/B)=lim CB

就给你说说思路吧，全写下了一大串。
比如1.n=4k+1
cos(narccosx)=sin(nπ/2-narccosx)
和nπ/2-narccosx是等价无穷小，用nπ/2-narccosx换掉
变成lim (nπ/2-narccosx)/x
又arcsinx+arccosx=π/2，所以
lim (nπ/2-narccosx)/x=lim narcsinx/x=n

另一种一个道理
2.n=4k+3
cos(narccosx)=-sin(nπ/2-narccosx)
和上面唯一的区别就在这儿有个负号，下面都一样

Answer 2

lim(x->0)arccosx=pi/2
所以：cos(npi/2)=0
符合了罗必塔的条件
上下分别求导
lim(x->0)(-sin(narccosx)(-n/(1+x^2))^0.5)
=nsin(npi/2)