Question

已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{an}满足f[log2(an)]=-2n. (1)求数列的通项公式 (2)...

已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{an}满足f[log2(an)]=-2n.
(1)求数列的通项公式
(2)求证：数列是递减数列。

Answer 1

(1)解：
由已知得an-1/an=-2n
an^2+2nan-1=0
an=[(-2n)±√(4n^2+4)]/2=-n±√(n^2+1)

(2)
an=√(n^2+1)-n时，
an>0
1/an=1/[(n^2+1)-n]=√(n^2+1)+n，单调递增，因此an单调递减；
an=-(√(n^2+1)+n)时，
an<0
-(√(n^2+1)+n)单调递减，因此an单调递减。

Answer 2

f[log2(an)]=2^log2(an)-2^(-log2(an))
=an-1/an=-2n

an^2+2n*an-1=0
(an+n)^2=n^2+1
又log2(X)的定义域是X>0
所以
an=根号（n^2+1）-n

an'<0 =>数列是递减数列

Answer 3

看图 又条件可知an>0