Question

在菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在AB、AD上,且BE=AF。你能说明三角形ECF是等边三角形吗/

Answer 1

连接AC，因为角B=60度，
所以角BAD=120度，所以角CAD=60度
因为角B=60度，BC=AB
所以三角形ABC是等边三角形
所以AC=BC
因为BE=AF,角B=角CAD
所以三角形BCE全等于三角形ACF
所以CE=CF,角ECB=角FCA
因为角BCE+角ACE=60度
所以角ACF+角ACE=60度
由CE=CF,角ACE=60度，可知三角形ECF为等边三角形

Answer 2

连接AC
∵∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=AD
∴△ABC，△ADC是等边三角形。
∴∠DAC=∠B=60°，AC=BC
又∵AF=BE
∴△AFC≌△BEC
∴CF=CE，∠BCE=∠ACF
∵∠FCE=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°
∴△ECF是等边三角形

Answer 3

证明：
连接AC
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°
∴∠BAC=∠CAF=60°
∴∠CAF=∠B
∴△ABC是等边三角形
∴CB=CA
∵BE=AF
∴△BCE≌△ACF
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF
∵∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACF+∠ACE=60°
即∠ECF=60°
∴△CEF是等边三角形

Answer 4

△ECF就是正三角形！
可以设菱形边长为a，BE=AF=x (0＜x＜a)。
则根据余弦定理可以得到：
CE=√(a^2+x^2-2axcos60°)=√(a^2+x^2-ax)
EF=√[(a-x)^2+x^2-2(a-x)xcos120°]=√(a^2+x^2-ax)
CF=√[(a-x)^2+a^2-2(a-x)acos60°]=√(a^2+x^2-ax)
CE=EF=CF
所以，这是正三角形

Answer 5

在三角形BEC和三角形AEF中
BE=AF
角B=角FAC
BC=AC(因为菱形ABCD中,∠B=60°,所以三角形ABC为政三角形)
所以三角形BEC和三角形AEF全等
所以EC=FC,角BCE=角ACF
又因为角BCE+角EAC=60度=角ACF+角EAC=角ECF
所以三角形ECF是等边三角形