Question

已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形

正三角形 过程。

Answer 1

(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0
△=4(a+b+c)^2-4*3(a^2+b^2+c^2)
=4(a^2+b^2+c^2)+8(ab+ac+bc)-12(a^2+b^2+c^2)
=8(ab+ac+bc)-8(a^2+b^2+c^2)

方程有两个相等的实数根
即△=0
8(ab+ac+bc)-8(a^2+b^2+c^2)=0
8(a^2+b^2+c^2)-8(ab+ac+bc)=0
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
所以a=b,b=c,c=a
即a=b=c
所以这个三角形为正三角形