Question

如图,在△ABC中,；∠BAC=90°,D为三角形内一点,且AB=AC=BD，∠ABD=30°。求证：AD=DC

Answer 1

过B作BM⊥AD于M,在线段BM上截取AN=AD,连ND
∵AB=BD,ABD=30
∴BM垂直平分AD,ABN=15,BAD=BDA=75,
∴AN=ND,DAC=90-75=15
∵AN=AD∴AN=AD=ND,△ADN为等边三角形
∴NAD=60
∴BAN=90-NAD-DAC=90-60-15=15
∴BAN=ABN=DAC=15,BN=AN
∵AB=AC,BAN=CAD=15,AN=AD
∴△BAN≌△CAD
∴DCA=NBA=15=DAC
∴AD=CD,即△ACD为等腰三角形

Answer 2

作∠CBE=15度，使得BE=AB，连接CE、AE。
根据题意可得∠DBC=15度，所以△BCD全等于△BCE，所以DC=EC。
∠ABE=60度，因此△ABE是等边三角形。
所以AE=AB=BD，因为∠CAE=90-60度=30度=∠ABD，加上AC=AB。
所以 △ACE全等于△BAD，
所以AD=EC，再由之前的证明 得 AD=EC=DC