Question

请问一下，还是刚才那道题的第二问

如果抛物线y=a(x-t-1)^2+t^2经过点B,这条抛物线与X轴的两个交点和他的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由

Answer 1

顶点是A(t+1,t^2)了
令抛物线y=0得到 a(x-t-1)^2+t^2=0
(x-t-1)^2=-t^2/a
要使有2个交点a要为负数, 也即 -a>0
x= ±√(-t^2/a)+t+1

也即交点为 C(√(-t^2/a)+t+1,0)和D(-√(-t^2/a)+t+1,0)
AC斜率为k1= [√(-t^2/a)]/-t^2
AD斜率为k2= [-√(-t^2/a)]/-t^2
k1*k2= -(-t^2/a)/t^4 =a/t^2
若能构成直角三角形,那么AC和AD是垂直的,也就是斜率积k1*k2=-1
也就是t^2=-a ,t=±√(-a)