Question

1。在数列{an}中,a1=4,a2=10,若{log3【a（n）-1】}为等差数列。

Tn=1/（a2-a1）+1/（a3-a2）+……+1/【a（n+1）-an】=？
2。在等差数列{an}中，已知am（m是下标）=1/k，ak（k是下标）=1/m，（m，k∈正整数，m≠k）则数列{an}前mk项的和为？
3。已知数列{an}前n项和为Sn,且对任意正数n都有:2Sn=(n+2)a（n）-1
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设Tn=1/a1a3+1/a2a4+1/a3a5+……+1/an*an+2，求 lim Tn
n→+∞

五分一道啦~会追加的~！

Answer 1

解：1. 因为{log3【a（n）-1】}为等差数列，记为bn=log3【a（n）-1】
则b1=log3【4-1】=1 , b2=log3【10-1】=2
所以数列{bn}的公差为 d=2-1=1 ，
所以Tn=1/（a2-a1）+1/（a3-a2）+……+1/【a（n+1）-an】
=1/d+1/d+…+1/d=n
2.∵ am=a1+(m-1)d=1/k , ak=a1+(k-1)d =1/m
∴ am-ak=(m-k)d=1/k-1/m ,(m-k)d=(m-k）/mk
∵ m≠k ∴ d=1/mk ∴ a1=1/k-(m-1)d=1/mk
∴ 前mk项的和Smk=mk＊a1+mk(mk-1)d/2
把d=1/mk 和 a1=1/mk 代入得 ：Smk=(1+mk)/2 (amk=1)
3.
1) ∵ 2Sn=(n+2)a（n）-1 ∴ 2Sn-1=(n-1+2)a（n-1）-1
∴ 2Sn-2Sn-1=(n+2)a（n）-(n+1)a（n-1）
∴ 2an=(n+2)a（n）-(n+1)a（n-1 )
∴ a（n）/a（n-1 )=(n+1)/n (n≥2)
a（n-1）/a（n-2 )=n/(n-1)
……
a2/a1=3/2
∴an/a1=(n+1)/2 (n≥2)
又s1=a1, 2s1=3a1-1 ∴ a1=1 ∴an=(n+1)/2 (n≥2)
显然a1=1 满足 an=(n+1)/2
∴ an=(n+1)/2 (n≥1)

2） ∵ 1/an*an+2=1/（(n+1)/2*(n+3)/2）=2（1/（n+1)-1/(n+3))

∴ Tn=1/a1a3+1/a2a4+1/a3a5+……+1/an*an+2
=2(1/2-1/4)+2(1/3-1/5)+2(1/4-1/6…+2（1/(n+1)-1/(n+3))
=2(1/2+1/3-1/(n+2)-1/(n+3)）
=5/3-（4n+10)/(n^2+5n+6)

∴ lim Tn=5/3
n→+∞

Answer 2

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