Question

数列极限证明中的缩放

大一刚开始学数学分析，在证明数列极限的题里，书上有的例题通过缩放，才移项，求到N的表达式。但自己感觉直接移项解出N的表达式不是更好吗？虽然表达式复杂点，但感觉没有影响到证明啊！那书上为什么要缩放？缩放目的是为了什么，什么时候需要去缩放？本人大一，所以麻烦各位学长尽量用我能听懂的语言来讲，拜谢！

Answer 1

楼主你好，你能够提出这样的质疑表示你用心在学了，的确，一般大一的新生在学到高等数学中的极限放缩时都会有这样的困扰。比如一个很简单的关于X的方程式，明明可以用N来表示并且明显在N趋向于无穷时可以得到想要证明的X的取值范围，但是教科书却非要把这个N的式子通过放缩变得简单。首先教科书的本意只是想用定义直观得来证明当N大于某一个自然数之后，X就一直满足所要求证的极限范围，甚至就像简单的一步四则运算P/N这样，这样子有一个好处就是可以给出这样的一个自然数，虽然这个自然数并不一定是N的临界最佳值，但是却肯定是符合条件的自然数。如果楼主仅仅用一个N的表达式不进行任何放缩的话，那么X和N的关系将会是一个比较复杂的运算关系，不能很好地表达出某一个整数，从而也不能很直观得用定义来给出极限的证明；其次是你想用的那种方法很有局限性，并不是所有的方程都能用纯一元函数来表示出X；
下面举个简单的例子：
求n开n次根号的极限
令n开n次根号等于X，要求X的极限你还能用X的式子来表示n吗？显然不可能
这种极限就必须用单调加有界来给出极限；
说得比较乱，这种东西关键还是你要多做练习，数学上有些东西也是只可意会不可言传，希望能帮到楼主，祝数学分析高分^_^