Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=1/2BD，求证BD平分∠ABC

Answer 1

延长AF和BC，二延长线相交于F点，

AC=BC（已知），

〈DCB=〈BCF=90度，

在三角形ADE和三角形BDC中，

〈AED=〈DCB=90度，

〈EDA=〈CDB，（对顶角相等），

180度-〈AED-〈EDA=180度-〈DCB-〈CDB，

故〈EAD=〈CBD，

故△ACF≌△BCD，

BD=AF，

AE=BD/2（已知），

故E是AF的中点，

AE=EF，

BE=BE，

〈AEB=〈FEB=90度，

∴△AEB≌△FEB，

∴〈CBE=〈ABE，即BD平分∠ABC。

Answer 2

证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC．
又AC=BC，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又BD=2AE.
∴AE=EF．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．

Answer 3

证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，
∠ACF=∠BCD=90°AC=BC∠FAC=∠DBC
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=
1
2
BD，
∴AE=EF．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．