Question

有关高等代数题

证明：如果（x-1)能整除f(x^n),那么(x^n-1)能整除f(x^n)

先谢谢啦！！

Answer 1

用反证法证明。
假设(x^n-1)不能能整除f(x^n)，则存在q(x)<>0和k<>0,使得
f(x^n)=(x^n-1)q(x)+k
=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+1]q(x)+k
即存在p(x)=[x^(n-1)+x^(n-2)+…+1]q(x)<>0,和k<>0使得
f(x^n)=(x-1)p(x)+k成立。这与已知（x-1)能整除f(x^n)矛盾。
故假设不成立。
则(x^n-1)能整除f(x^n)。