Question

设函数f(x)=0,f是定义(0,+∞)在上的单调增函数，且满足f(x/y)=f(x)-f(y).

设函数f(x)=0,f是定义(0,+∞)在上的单调增函数，且满足f(x/y)=f(x)-f(y).
1.证明:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y)
2.若f(2)=1,解不等式f(x)-f(1/x-3)≤2

Answer 1

⑴令y=1
f(x)=f(x/1)=f(x)-f(1)
∴f(1)=0
令x/y=a,y=b,∴x=ab
则f(a)=f(ab)-f(b)，即f(ab)=f(a)+f(b)
∴f(xy)=f(x)+f(y)

⑵∵f(2)=1
∴f(4)=f(2×2）=f(2）+f(2)=2
∴原不等式化为f(x/(1/(x-3)))≤f(4)
即x(x-3)≤4
∴-3≤x≤4
注意定义域限制1/(3-x)有意义，即x≠3
∴不等式的解集为[-3,3)∪(3,4]