Question

设函数f(x)定义域为R，对于任意的x1,x2属于R，函数都有f(x1+x2)=f(x1)f（x2）证f(x)>0

Answer 1

证明：
（1）当f(x)=0时，对于x1,x2都等于0，函数f(x1+x2)=f(x1)f（x2）成立。
（2）当f(x)不等于0时，且在x=0处连续，
假设存在a 使得 f(a)不等于0,f(a+0)=f(a)*f(0) => f(a)*(f(0)-1)=0 => f(0)=1
如果存在 b 使得 f(b) = 0,
0=f(b)=f(b/n + b/n + b/n...+ b/n)
=f(b/n)*f(b/n+ b/n...+b/n)
= [f(b/n)]^2*f( b/n...+b/n)
= ...
=[f(b/n)]^n
所以：f(b/n) = 0
因为: b/n趋向于0, 而f(x) 在x=0处连续， 所以 f(0) = 0 这与前面得到的f(0)=1矛盾， 所以 f(x) 恒大于0。

Answer 2

f(x)=f(x/2 + x/2) = [f(x/2)]^2 >= 0.

此函数可以是恒等于0.

如果要 f(x) 严格大于 0， 必须另加条件。 比如 f(x)不恒等于0， 且在x=0处连续。

下面证明这个条件下 f(x) 严格大于 0。
存在a 使得 f(a)不等于0，
f(a+0)=f(a)*f(0) => f(a)*(f(0)-1)=0 => f(0)=1

如果 存在 b 使得 f(b) = 0,
0=f(b)=f(b/n + b/n + b/n...+ b/n)
=f(b/n)*f(b/n+ b/n...+b/n)
= [f(b/n)]^2*f( b/n...+b/n)
= ...
=[f(b/n)]^n
所以 f(b/n) = 0
因为 b/n --> 0, 而f(x) 在x=0处连续， 所以 f(0) = 0 这与前面得到的f(0)=1矛盾， 所以 f(x) 恒大于0.

Answer 3

f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f^2(x/2)>=0

注：若要f(x)>0,需要加条件“对任意x,f(x)≠0”