Question

三角形ABC中，AB=2,BC=3,以AB为边向形外作等边三角形APC，求BP最大值和最小值。

点击图可以看到放大图。

Answer 1

应该是以AC为边，做等边三角形APC吧

我算出来的是范围，只有一最值

我的答案是：根号7＜BP≤5

过程我一会儿给你 

原因：如图①，分别以AB，BC为边，做等边三角形ABE，等边三角形BCF，连接AF，BP.

∴BP=AF（△BCP≌△FCA，证明略）.

即BP的长可以用AF表示

先看图②，等边三角形ABE以B点旋转，AF的长度总会发生变化，因为AF是△ABF的一条边，当AB,BF共线时，AF的长为AB+BF，且最大，而无论等边三角形ABE怎么旋转，永远都是AB,BF共线时，AF最大，那么由于都是等边三角形，所以AF=BP（△CAF≌△CPB,证明略），又因为AB=2,BC=BF=3.所以AF最大值为5，那么BP最大值就是5.

所以BP=5（最大值，可取极值）

再看图③,当等边△ABE顺时针旋转使A点落在BC上，等边△ABE就不能再顺时针旋转了，因为当A点落在BC上，△ABC就成了一条直线了，这就是最小情况了，但不能取这个值，因为它并不存在，只是个界限。那么AC=BC-BA的值最小，以AC为边的等边△ACP到最小了，且AF的值也到最小了，无论等边△ABE再怎么旋转，只要满足△ABC是个三角形，AF的最小值就是这种情况了，可证AF=BP（△CPB≌△CAF，证明略，这些都是全等的证明，楼主应该都会）

可是AF的长度怎么求呢？

过A点做AG⊥BF.

∵∠ABF=60°，AB=2

∴BG=1，AG=根号3

∴GF=BF-BG=3-1=2.

∵直角△AGF，AG,GF长度已知，则根据勾股定理，AF=根号7

∴BP=根号7（BP最小值，不可取极值）

∴BP范围就是：根号7＜BP≤5

Answer 2

你这个题是不是有问题啊？既然是以AB为边，又怎么可能做到等边三角形APC？应该是以AC为边吧？