Question

已知函数f(x)=x/2x+1，x>0，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)；数列{bn}满足b1=1/2，bn+1=1/1-2f（Sn），其中

已知函数f(x)=x/2x+1，x>0，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)；数列{bn}满足b1=1/2，bn+1=1/1-2f（Sn），其中Sn为数列{bn}前几项和，n=1,2,3...
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式。
(2)设Tn=1/a1b1+1/a2b2+...+1/anbn，证明T<5。

Answer 1

an+1=f(an),则有a(n+1)=an/(2an+1),两边取倒数，
1/a(n+1)=(2an+1）/an=2+1/an
则有1/a(n+1)-1/an=2
令cn=1/an
则cn-c(n+1)=2(等差数列，公差为2，首项为c1=1/a1=1)
有cn=1+2(n-1)=2n-1
则an=1/(2n-1)
bn+1=1/1-2f（Sn）化简有
b(n+1)=2Sn+1
sn=[b(n+1)-1]/2,则当n>1时，
bn=sn-s(n-1)=[b(n+1)-1]/2-[bn-1]/2=[b(n+1)-bn]/2
b(n+1)=3bn(bn为等比数列，首项为b2=2，公比为3)
bn=2*3^(n-2) (n>1)(b1=1/2)
Tn=1/a1b1+1/a2b2+...+1/anbn
1/3Tn=...
则Tn-1/3Tn=2-2/3+3/2+[1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-2)]-(2n-1)/2*3^(n-1)
Tn-1/3Tn=2-2/3+3/2+[1-(1/3)^(n-2)]/2-(2n-1)/2*3^(n-1)
当n取到无穷的时候是Tn最大的时候，此时有
2/3Tn=2-2/3+3/2+1/2-2(2n-1)/3^(n-1)<10/3
T<5

Answer 2

解：
an=1/(2n-1)
bn=1/2*3^(n-1)