Question

观察下列等式;1的3次方等于1的2次方,1的3次方加2的3次方等于3的2次方,1的3次方加2的3次方加3的3次方等于6

观察下列等式;1的3次方等于1的2次方,1的3次方加2的3次方等于3的2次方,1的3次方加2的3次方加3的3次方等于6

观察下列等式;1的3次方等于1的2次方,1的3次方加2的3次方等于3的2次方,1的3次方加2的3次方加3的3次方等于6的2次方,....,想一想,等式左边各个幂的底数与右边的底数有什么关系,并用等式表示出规律;再利用这一规律计算;（1）1的3次方加2的3次方加3的3次方加.....加100的3次方的值;（2）2的3次方加4的3次方加6的3次方加.....加98的3次方加100的3次方的值;（3）21的3次方加4的3次方加22的3次方加23的3次方加.....加99的3次方加100的3次方的值

Answer 1

（1）1³=1²，1³+2³=3²，1³+2³+3³=6²
规律：1³+2³+...+n³=〔n(n-1)/2〕²,
所以1³+2³+...+100³=（100×99/2）²=5050²
（2）2³+4³+6³+...+100³
=（2×1）³+（2×2）³+...+（2×50）³
=2³×（1³+2³+...+50³）
=8×（50×49/2）²
=8×1225²
（3）21³+22³+...+100³
=1³+2³+...+100³-（1³+2³+...+20³）
=（100×99/2）²-（20×19/2）²
=5050²-190²