Question

举例证明同余的乘方性质：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)

Answer 1

证明：（应用数学归纳法证明）
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假设当n=k时，a^k≡b^k (mod m)成立，即a^k-b^k能被m整除。
那么当n=k+1时
∵a≡b (mod m)
∴a=b+km (k是整数)
∵a^(k+1)-b^(k+1)=a^(k+1)-ab^k+ab^k-b^(k+1)
=a(a^k-b^k)+(a-b)b^k
=a(a^k-b^k)+kmb^k
又由假设知a^k-b^k能被m整除，且显然kmb^k能被m整除
∴a^(k+1)-b^(k+1)能被m整除，即a^(k+1)≡b^(k+1) (mod m)成立
故由数学归纳法知，原命题成立。证毕。

Answer 2

a ≡ b (mod m)
a=b+m*k
a^n=(b+mk)^n=b^n+m*N
所以
a^n ≡ b^n (mod m)