Question

线性代数 矩阵问题

已知A是3阶矩阵，lAl>0,A*=duag(1,-1,-4),且ABA^(-1)=BA^(-1)+3E，求矩阵B。
麻烦列出详细的计算方式，谢谢！

Answer 1

先在等式两边同时右乘A，得：
AB=B+3A
∴B=3A(A-E)^(-1)
又AA*=|A|E
∴A=|A|*A*^(-1)

∵ |A*|=|A|^(n-1)(A的伴随阵的行列式等于A的行列式的n-1次方)，
由A*=diag(1,-1,-4)得
|A*|=4， n=3, n-1=2且|A|>0
∴|A|=√4=2

∴A=|A|*A*^(-1)=2A*^(-1)=diag(2,-2,-1/2)
∴B=3A(A-E)^(-1)=diag(6,-6,-3/2)*diag(1,-1/3,-2/3)=diag(6,2,1)