Question

一道求导函数的题

y=[sin(x)]^x（x>0）的导函数如何求?
希望各位大侠写清楚过程
我之前就想去对数，但是对数中要求真数要大于0，sin（x）在x>0时有小于0的部分，所以去对数应该不可取

Answer 1

lny=xlnsinx
对x求导
(1/y)*y'=x'*lnsinx+x*(lnsinx)'
=lnsinx+x*1/sinx*(sinx)'
=lnsinx+x*cosx/sinx
=lnsinx+xcotx
y'=y*(lnsinx+xcotx)
y=(sinx)^x
所以y'=(sinx)^x*(lnsinx+xcotx)

Answer 2

y=e^(xlnsinx)
求导
y'=(lnsinx+xcotx)e^(xlnsinx)

Answer 3

你先两边取对数，这样会一下子就出来了。
lny=xln(sinx)
y'y=(xlnsinx)'
y'=1/y(xlnsinx)'=1/y(ln(sinx)+xcotx)

Answer 4

y=e^(x*ln(sinx)) 写成指数形式，利于应用公式
y'=e^(x*ln(sinx))*(x*ln(sinx))'后面的导数就是乘积的公式
=(sinx)^x*(x*cosx/sinx+ln(sinx))其中ln（sinx）=cosx/sinx也是链式法则
y'=(sinx)^x*(x*tanx+ln(sinx))

Answer 5

设t=sin（x）则y=t^x,y′=x*t^(x-1)t′=x*cosx*[sin(x)]^(x-1)