Question

数学题,帮帮忙啊~

设f(x)对一切x>0有定义,且满足f(x)在x>0上为增函数,任意x>0都有f(x)*f[f(x)+1/x]=1求f(1)

Answer 1

解：f(x)*f[f(x)+1/x]=1
令x=f(x)+1/x
f[f(x)+1/x]*f{f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]}=1
所以f(x)=1/f[f(x)+1/x]=f{f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]}
由f(x)在x>0上增函数
所以x=f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]
代入x=1
则1=f(f(1)+1)+1/(f(1)+1)
f(f(1)+1)=1-1/(f(1)+1)
根据f(x)*f[f(x)+1/x]=1代入x=1
f(1)*f(f(1)+1)=1
所以f(1)*[1-1/f(f(1)+1)]=1
解得f(1)=(1+根号5)/2或(1-根号5)/2
由于1/f(1)-f(1)=-1<0即f(f(1)+1)<f(1)
由函数单调增，所以f(1)+1<1，f(1)<0
所以f(1)的值为(1-根号5)/2

Answer 2

∵f(x)*f[f(x)+1/x]=1
∴f[f(x)+1/x]*f{f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]}=1
由以上两式得
f(x)=f{f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]}

又f(x)在x>0上为增函数
∴x=f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]
∵1/f(x)=f[f(x)+1/x]
∴x=[1/f(x)]+1/[f(x)+1/x]

∴x²*f(x)²-x*f(x)-1=0
将f(x)作为未知数，解一元二次方程得
f(x)=x+√(x²+4x²)/2x²=(1+√5)/2x
或
f(x)=x-√(x²+4x²)/2x²=(1-√5)/2x

又f(x)在x>0上为增函数
∴f(x)=(1-√5)/2x
∴f(1)=(1-√5)/2

Answer 3

代入法，强人还是很多的哈

再就是细节

Answer 4

令x=f(x)+1/x则

f[f(x)+1/x]*f{f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]}=1
由
f[f(x)+1/x]*f{f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]}=1
f[f(x)+1/x]*f(x) =1

得f(x)=f{f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]}

因为函数单调递增

所以x=f[f(x)+1/x]+1/[f(x)+1/x]

因为f[f(x)+1/x]=1/f(x)

所以x=1/f(x)+1/[f(x)+1/x]

化简得x^2*f(x)^2-x*f(x)-1=0

把它当做关于f（x）的一元二次方程

解得f(x)=（1+√5)/2x或
f(x)=(1-√5)/2x

又因为f(x)在x>0上为增函数

∴f(x)=(1-√5)/2x

∴f(1)=(1-√5)/2