Question

已知二次函数fx的二次项系数为a且不等式fx大于 2x的解题为 1 3 若fx加6a等于0有两

Answer 1

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>2X的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)的最大值不小于8，求实数a的取值范围。

设f(x)=ax^2+bx+c
不等式f(x)＞2X的解集为(1,3)
ax^2+bx+c＞2x
ax^2+(b-2)x+c＞0
设g(x)=ax^2+(b-2)x+c
不等式f(x)＞2X的解集为(1,3)，相当于g(x)=ax^2+(b-2)x+c开口向下，与x轴有两个交点将x1=1,x2=3代入ax^2+(b-2)x+c=0，得：
a*1+(b-2)*1+c=0
a*3^2+(b-2)*3+c=0
解得：b=2-4a，c=3a，代入原函数时得：
f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a=0

(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根
即：ax^2+(2-4a)x+9a=0有两个相等的实根
判别式△=(2-4a)^2-4*a*9a=0，解得a=-1，a=1/5
函数开口向下，故a＜0,所以a=1/5不合题意，舍去。
所以a=-1，故函数解析式为：
f(x=-x^2+6x-3

(2)若函数f(x)的最大值不小于8
根据公式(4ac-b^2)/(4a)≥8，即：
[4*a*9a-(2-4a)^2]/(4a)≥8
函数开口向下，a＜0，两边同乘4a得：
4*a*9a-(2-4a)^2≤8*4a，化简得：
(5a+1)(a-1)≤0，解得：
-1/5≤a≤1
而函数开口向下的前提是a＜0，所以：
-1/5≤a＜0

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
不等式f(x)＞2X的解集为(1,3)
ax^2+bx+c＞2x
ax^2+(b-2)x+c＞0
设g(x)=ax^2+(b-2)x+c
不等式f(x)＞2X的解集为(1,3)，相当于g(x)=ax^2+(b-2)x+c开口向下，与x轴有两个交点将x1=1,x2=3代入ax^2+(b-2)x+c=0，得：
a*1+(b-2)*1+c=0
a*3^2+(b-2)*3+c=0
解得：b=2-4a，c=3a，代入原函数时得：
f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a=0
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根
即：ax^2+(2-4a)x+9a=0有两个相等的实根
判别式△=(2-4a)^2-4*a*9a=0，解得a=-1，a=1/5
函数开口向下，故a＜0,所以a=1/5不合题意，舍去。
所以a=-1，故函数解析式为：
f(x）=-x^2+6x-3
(2)若函数f(x)的最大值不小于8
根据公式(4ac-b^2)/(4a)≥8，即：
[4*a*9a-(2-4a)^2]/(4a)≥8
函数开口向下，a＜0，两边同乘4a得：
4*a*9a-(2-4a)^2≤8*4a，化简得：
(5a+1)(a-1)≤0，解得：
-1/5≤a≤1
而函数开口向下的前提是a＜0，所以：
-1/5≤a＜0