Question

考研数学 数列极限

如何证明？

Answer 1

xn > 2
（随便说句： 这个序列不是单调的）
{x(n+1)-xn| = |1/xn - 1/x(n-1)|< |xn -x(n-1)|/4

于是也有：
{x(n+i+1)-x(n+i)||< |x(n+i) -x(n+i-1)|/4
< ...
< |x(n+1) -xn|/4^i

所以：仍给 n,m>0:
|x(n+m)-xn|<= |x(n+m) -x(n+m-1)|+...+|x(n+1) -xn|
< |x(n+1)-xn|*(1/4^(m-1)+...+1/4 + 1)
< 2|x(n+1)-xn|
< 2|x2-x1|/4^n
所以 当n充分大时， |x(n+m)-xn|小于任意指定正数。
所以极限存在，设其为x。

在 xn = 2+ 1/ x(n-1) 两边取极限，得：
x = 2 + 1/x => x^2-2x -1 = 0, 因为 x >=2, x = 1 + 根2.

Answer 2

x<n>-x<n> = (x<n-1>-<n-2>)/(x<n-1> x<n-2>)>...>x<2>-x<1>>0
所以x<n>单调递增，
又x<n>-3=(1-x<n-1>)/x<n-1><0，所以x<n>有上界，极限必然存在。
x<n>=2+ 1/x<n-1>两边取极限
x=2+1/x，x>2，求得x=1+sqrt2
极限为1+sqrt2

Answer 3

xn=2+1/[x(n-1)]当n趋于无空时，xn=2