Question

！！！数学高手请进！

求limsin[π根号(n^2+1)],n趋向正无穷。

Answer 1

考查|sin[π根号(n^2+1)]|
原式=|sin{πn+π[根号(n^2+1)-n}|
其中:根号(n^2+1)-n可以分子有理化,变成1/[根号(n^2+1)+n]
而对任意x都有|sin(x+kπ)|=|sin(x)|
从而|sin{πn+π[根号(n^2+1)-n}|=|sin[π[根号(n^2+1)-n]|
=|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|
又知:-|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|≤sin{1/[根号(n^2+1)+n]}≤|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|
也就是:-|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|≤sin[π根号(n^2+1)]≤|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|
两边当n→∞时都趋于0所以
limsin[π根号(n^2+1)]=0,(n趋向正无穷)