Question

设函数y=f(x)是定义在R＋上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1

（1）求f(1)的值
（2）如果f(X)+f(2/3-x)≤2,求x的值

Answer 1

(1) 令 x=1,y=1,f(1)=2f(1)
所以 f(1)=0

（2）f(X)+f(2/3-x)=f(x*（2/3-x）)≤2=1+1=f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)

所以 且因为函数是减函数
x*（2/3-x）≥1/9
9x^2-6x+1≤0
（3x-2)^2≤0
所以 3x-2=0
所以 x=2/3

Answer 2

1.令x=1 y=2得f(1)=0
2.x>0,2/3-x>0,f(x)+f(2/3-x)=f[x(2/3-x)]
2=1+1=f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)
y=f(x)在定义域R+上为减函数，
x(2/3-x)≥1/9 =>x^2-2/3x+1/9≤0 =>-1/3≤x≤1/3

Answer 3

此题要这样解:
(1)、因f(xy)=f(x)+f(y)，则当y=1是，有f(x)=f(x)+f(1),则f(1)=0
(2)、设x=t+1/3,则2/3-x=1/3-t，则f(x)+f(2/3-x)=f(t+1/3)+f(1/3-t)=f[(t+1/3)(1/3t)]=f(1/9t^2)>=f(1/9)=f[(1/3)*(1/3)]=f(1/3)+f(1/3)=1+1=2
因f(x)+f(2/3-x)<=2，则只有当t=0时，此不等式成立，即x=1/3