Question

一道高中数学竞赛题、数列的、求解！！！！！！

已知数列an=(1/n)^(2010/2009)，S为数列前n项和，
求证：S<2010

Answer 1

当k-1≤x≤k时，有1/k^(2010/2009)≤1/x^(2010/2009)
1/k^(2010/2009)=(k,k-1)∫1/k^(2010/2009)dx
≤(k,k-1)∫1/x^(2010/2009)dx
所以Sn≤1+(k=2,n)∑1/k^(2010/2009)
≤1+(k=2,n)∑(k,k-1)∫1/x^(2010/2009)dx
=1+(n,1)∫1/x^(2010/2009)dx
=1+1/(2010/2009-1)(1-1/n^(2010/2009-1))<1+1/(2010/2009-1)=2010
所以S<2010

Answer 2

∵ a1=1 a2=(1/2)^(2010/2009)＜1/2 ＜1
同理 n>2 时 an=(1/n)^(2010/2009)＜1/n＜1
∴ S＜2010

Answer 3

123545