Question

高二数列题

a1=2,a(n+1)=(an+3)/(3an+1),求an的通项公式

Answer 1

an=2/[3(-2)^(n-1)-1] +1
其中x^y表示x的y次方
解：a(n+1)=(an+3)/(3an+1),
a(n+1)-1=(an+3)/(3an+1)-1=-2(an-1)/(3an+1)
两边取倒数得到：
1/[a(n+1)-1]=-(3an+1)/2(an-1)=-3/2-2/(an-1)
令bn=1/(an-1) ,b1=1/（2-1）=1
b(n+1)=-3/2-2bn
b(n+1)+1/2=-2(bn+1/2)
所以b(n+1)+1/2够成等比数列
所以bn+1/2=(-2)^(n-1)*(b1+1/2)=(-2)^(n-1)*3/2
所以bn=[3(-2)^(n-1)-1]/2=1/(an-1)
所以an=2/[3(-2)^(n-1)-1] +1
你可以将n=1,2...检验，结论是正确的
如果不明白其中那些倒数 和加减的参数如何取来的 可以联系我

Answer 2

令a<n+1>=a<n>=t，解得
t=±1
所以
(a<n>-1)/(a<n>+1)=(-1/2)(a<n-1>-1)/(a<n-1>+1)
所以{(a<n>-1)/(a<n>+1)}是公比为(-1/2)的等比数列
所以(a<n>-1)/(a<n>+1)=(a<1>-1)/(a<1>+1)(-1/2)^(n-1)=(1/3)(-1/2)^(n-1)
所以a<n>=[1+(1/3)(-1/2)^(n-1)]/[1-(1/3)(-1/2)^(n-1)]

递推基本型，直接有计算公式，事半功倍，网上可以搜