Question

关于高等数学中有关高阶微分不具有形式不变性

假如y做自变量，有d2y=f''(u)du2 设y=f(u), u=g(x)
为什么如果u和x有函数关系。就变成了d2y=f''(u)du2+f'(u)d2u
那我怎么知道给我一个y=f(u),，那个u会不会和其他变量有什么关系，那我怎么知道用d2y=f''(u)du2 还是d2y=f''(u)du2+f'(u)d2u ？

Answer 1

一阶微分不变性：
dy = f'(u)du = f'(u)g'(x)dx

微分的乘法律
d^2y=d(f'(u)du)
=d(f'(u))du+f'(u)d(du)
=f''(u)(du)^2+f'(u)d^2u

上面就是二阶微分的基本形式，和x没有关系。

如果是y求关于x的二阶导数
即：d^2y/(dx)^2
=f''(u)(du/dx)^2+f'(u)d(du/dx)/dx

如果u=g(x)
原式=f''(u)(g'(x))^2+f'(u)g''(x)
=y''u'^2+y'u''

如果u=g(z),那么du/dx=0
原式=0