Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)，且f(x)=x没有实数根，那么f(f(x))=x是否有实根，说明理由

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)，且f(x)=x没有实数根，那么f(f(x))=x是否有实根，说明理由

Answer 1

假设f(f(x))=x有实根，那么f(x)=g(x),g(x)是f(x)的反函数，根据函数与反函数的性质可知，如果函数与其反函数有交点，那么交点一定在y=x上，或者关于y=x对称，而由于这里f(x)是抛物线，那么交点一定在y=x，也就是说y=f(x)与y=x，也有交点，这与题中f(x)=x无实根矛盾，因此假设不成立，即f(f(x))=x也没有实根。

Answer 2

因为f(x)=x没有实数根且f(x)二次系数a不等于0
所以f(x)-x恒大于0或者恒小于0
同理f(f(x))-f(x)也是恒大于0或者恒小于0且正负号与f(x)-x相同
则两者之和也有此性质
所以f(f(x))-x=0没有实数根！