Question

设f(x)的定义域为(0,+∞)的单调增函数,且对定义域内任意x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y).f(2)=1f(x)+f(x-3)<=2取

设f(x)的定义域为(0,+∞)的单调增函数,且对定义域内任意x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y).f(2)=1,求使不等式f(x)+f(x-3)<=3成立的取值范围

Answer 1

f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2
∴f(x)+f(x-3)≤3可化为
f(x(x-3))≤f(4)
∵f（x）在(0,+∞)为单调增函数
∴有x(x-3)≤4
解得-1≤x≤4
注意定义域
x＞0，且x-3＞0
∴x＞3
即不等式的解集为（3，4]

Answer 2

不等式左边可以变成f(2x-3),右边3变成f(2)+f(2)+f(2),也就是f(6),由单加性质的0＜＝2x-3＜＝6，结果自己求吧

Answer 3

由f(x+y)=f(x)+f(y).f(2)=1,
令x=y=2，得f(4)=2f(2)=2，
令x=4，y=2，得f(6)=f(4)+f(2)=3.

令y=x-3，得
f(x)+f(x-3)=f(x+(x-3))=f(2x-3)，

不等式f(x)+f(x-3)≤3，
可化为f(2x-3) ≤f(6)，
∵函数f(x)是定义在区间（0，＋∞）上的增函数，
∴x>0，且x-3>0，且2x-3≤6，
得3<x≤9/2=4.5，
故不等式f(x)+f(x-3)≤3中x的取值范围是（3，4.5 ].