Question

有没有数学高手，请教一道高等数学题。

证明：如果函数f(x)当x->x。时的极限存在，则函数f(x)在x。的某个去心邻域内有界.

Answer 1

这是存在极限的函数局部有界性定理的表达。
可以换个说法：如果函数f(x)当x->x。时的极限存在（等于A），那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x。|<δ时，有|f(x)|≤M
证明如下：
因为当x->x。时f(x)的极限存在（我们在这取为A），所以取ε=1，则存在δ>0,当0<|x-x。|<δ时，有|f(x)-A|<1→|f(x)|≤|f(x)-A|+|A|<|A|+1,记M=|A|+1。
得证。
不知道是否满意？？

Answer 2

证明：设当x-->x0时，limf(x)=m.(m∈R).则由函数极限定义知，任给一个正数ε>0,存在一个正数γ，当|x-x0|<γ时，恒有|f(x)-m|<ε.即当x∈(-γ+x0,x0)∪(x0,γ+x0)时，m-ε<f(x)<m+ε.