Question

函数y=f(x)和y=g(x)的图像关于原点对称，f(x)=x^2+2x

(1)求g(x)解析式(2)解g(x)>=f(x)-|x-1|(3)若h(x)=g(x)-mf(x)+1在[-1,1]上是增函数，求m取值范围

Answer 1

y=f(x)和y=g(x)的图像关于原点对称

设点（x，y）为点g（x）上的点，则（-x，-y）在f（x）上

所以有：-y=（-x）²+2（-x）
-y=x²-2x
y=-x²+2x
即g（x）=-x²+2x

（2）g(x)>=f(x)-|x-1|
即为：-x²+2x≥x²+2x-|x-1|
2x²≤|x-1|

当x-1≥0时 原不等式为 2x²≤x-1 无解
当x-1≤0时 原不等式为 2x²≤-x+1 解-1≤x≤1/2

(3)要使h(x)=g(x)-mf(x)+1在[-1,1]上是增函数，
h（x）=（-1-m）x²+（2-2m）x+1

则有导函数h（x）=2（-1-m）x+（2-2m）在【-1，1】上恒大于等于0

既有h（1）≥0

h（-1）≥0

所以有
2（-1-m）+（2-2m）≥0
-2（-1-m）+（2-2m）≥0

m≤0

Answer 2

1.关于原点对称g(x)=-f(-x)=-x^2+2x
2.-x^2+2x >= x^2+2x - |x - 1|
|x - 1| >= 2x^2 两面平方求解
3.h(x)= -x^2+2x - m(x^2+2x) + 1
= - (1 + m)x^2 + (2 - 2m)x + 1
在[-1,1]上是增函数，分开口向上和向下
向上对称轴小于等于-1，向下大于等于1

Answer 3

(1)g(x)=-x^2+2x
(2)x>=1时，-x^2+2x-x^2-2x-x+1>=0，-2x^2-x+1>=0解为x=1+-3/-4，所以解为x>=1/2交x>=1，所以x>=1。当x<1时，-2x^2+x-1无解。(3)
g(x)开口向下对称轴为-1，所以g(x)在定义域为增，若h(x)为增，则mf(x)为减。因为f(x)开口向上，对称轴为-1,在定义域为增，所以m的取值为m<=0