Question

高一复合函数单调性问题

f(x)=x²+2x-3
g(x)=-x²+2x+1
求f[g(x)]的单调区间

在线等 希望有详细解析过程
谢谢。

Answer 1

解：

f(x)=x²+2x-3=(x+1)²-4

函数图象的对称轴是x=-1，开口向上，则

单调递增区间是(-1,+∞),递减区间是(-∞,-1)

g(x)=-x²+2x+1=-(x-1)²+2

函数图象的对称轴是x=1，开口向上，则

单调递增区间是(-∞，1)，递减区间是(1,+∞)

(1)x≤-1时，f(x)递减，g(x)递增，则f[g(x)]递减

(2)-1≤x≤1时，f(x)递增，g(x)递增，则f[g(x)]递增

(3)x≥1时，f(x)递增，g(x)递减，则f[g(x)]递减

谢谢

Answer 2

内函数在(1,正无穷）上递增，在（负无穷，1）上递减
外函数在(负无穷,-1)上递增，在（-1，正无穷）上递减，所以复合函数在(-1,1)上递减

Answer 3

f(x)=x²+2x-3=(x+1)^2-4
在（-∞，-1）上单减，[-1，+∞）单增
g(x)=-x²+2x+1
=-(x-1)^2+2
在（-∞，1）上单增，[1，+∞）单减
由复合函数单调性
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/b7ce46888ca840b40e244460.html
f[g(x)]在(-∞,-1),(1,+∞) 单减,在[-1,1] 单增

Answer 4

将g(x)代入f（x），得
f(g(x))=x^4-4x^3+8x
f'(g(x))=4x^3-12x^2+8
=4(x^3-3x+2)
令f'(g(x))=0得
x=1，此时f(g(x))取最值，最小值5
单调递减区间是(-1,+∞),递增区间是(-∞,-1)