Question

设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|解不等式f(x)>2 （2）求函数y=f(x)的最小值

Answer 1

设函数f(x)=|2x+1|-|x-4| (1)解不等式f(x)>2 （2）求函数y=f(x)的最小值
(1)解析：∵函数f(x)=|2x+1|-|x-4|
将此函数写成分段形式：
当x<-1/2时，f(x)=-2x-1+x-4=-x-5, 函数单调减
当-1/2<=x<=4时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3==> f(-1/2)=-9/2, f(4)=9，函数单调增
当x>4时，f(x)=2x+1-x+4=x+5，函数单调增
f(x)>2?3x-3>2==>x>5/3
∴f(x)>2的解集为x>5/3
(2)由（1）知在x=-1/2时，函数f(x)取最小值f(-1/2)=-9/2

Answer 2

（1）f(x)=-x-5 (x<=-1/2) f(x)=3x-3 (-1/2<x<4) f(x)=-x+5 (x>=4)

f(x)>2 x<-7 f(x)>2 x>5/3 f(x)>2 x<3舍去

5/3<x<4

综上 x<-7或5/3<x<4

（2）f(x)=-x-5 (x<=-1/2) 减函数

f(x)=3x-3 (-1/2<x<4) 增函数

f(x)=-x+5 (x>=4)减函数

fmin=f(4)=1

Answer 3

（1）当x<=-1/2时，f(x)=3-3x>2，解得，x<1/3，即-x<=-1/2(等于-1/2时也是大于2)；
当-1/2<x<=4时，f(x)=3x-3>2,j解得，x>5/3,即5/3<x<=4;
当x>4时，f(x)=x+5>2,解得，x>-3,即x>4,所以不等式的解为x∈（负无穷，-1/2】∪（7/3，正无穷）
（2）由（1）可知，当x<=-1/2时的最小值是x=-1/2时为-9/2，当-1/2<x<=4时最小值为-9/2，当x>=4时最小值为9，所以f(x)的最小值为-9/2.