Question

初一奥数

．如图，设有边长为1的等边三角形记作A1，
悬赏分：0 - 解决时间： 2010年04月26日 14时24分
34．如图，设有边长为1的等边三角形记作A1，将A1的每边三等分，在中间的线段向形外作等边三角形，且去掉中间的线段后所得的图形记作A2 ；将A2的每条边三等分，并重复以上过程，所得的图形记作A3；往后依次类推，得到图形A4，A5……An（n为大于或等于2 的整数）图形A1，A2，A3的周长分别是3，4， ．请你仔细观察图形及图形的周长，则图形An的周长是__________（用n的表达式表示）．
当n=1时A1=3 n大于等于2时 An=3+4/3的(n-2)次方请详析？

Answer 1

我们只需观察图形An中每一个“小三角形”（里面那条边已经去掉了），当由图形An变成图形A(n+1)时，是将An每个小三角形“存在”的两条边三等分，再“长出”一个更小的三角形。数长度可以知道，变化后的每个小三角形总长度比原来长了1/3。即A(n+1)=An*(1+1/3)=An*(4/3)。
所以{An}是一个以A1为首项，公比为4/3的等比数列。易求得：An=A1*(4/3)^(n-1)，而A1=3，所以An=3*(4/3)^(n-1)，(n≥1)。

你给的答案错了，显然不可能是An=3+(4/3)^(n-2)，应该是乘号，而不应该是加号！数学是可以验算的。你就把n=3代进去画图数数就知道了。

Answer 2

A1=3
A2=A1+(1/3)*3=A1+1
A3=A2+(1/3)^2*3*4=A2+(4/3)^1
A4=A3+(1/3)^3*3*16=A3+(4/3)^2
A5=A4+(1/3)^4*3*64=A4+(4/3)^3
……
An=A(n-1)+(4/3)^(n-2)
等式两边相加得：
A1+A2+……+An=A1+A2+……+A(n-1)+3+1+(4/3)^1+(4/3)^2+……+(4/3)^(n-2)
即An=3+1+(4/3)^1+(4/3)^2+……+(4/3)^(n-2)

1，(4/3)^1，(4/3)^2，……，(4/3)^(n-2)是首项为1，公比为4/3的等比数列
共有（n-1）项，利用等比求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 得：
Sn=1*[1-(4/3)^(n-1)]/(1-4/3)=-3+3*(4/3)^(n-1)
所以:
An=3+Sn=3-3+3*(4/3)^(n-1)=3*(4/3)^(n-1)