Question

已知椭圆E:x^2/8+y^2/4=1 在线等

已知椭圆E:x^2/8+y^2/4=1（1）直线l：y=x+m有两个公共点,求实数m的取值范围。（2）以椭圆E的焦点F1 F2为焦点，经过直线l‘：x+y=9上一点P做椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程。

Answer 1

椭圆E：x²/8+y²/4=1.

（1）列方程组：x²/8+y²/4=1及y=x+m，
消去y，得x²+2(x+m)²=8
3x²+4mx+2m²-8=0
△=16m²-12(2m²-8)= -8(m²-12)
∵直线与椭圆E有两个公共点，
∴△>0，即-8(m²-12)>0，
∴-2√3<m<2√3.

（2）设所求椭圆C的方程为x²/a²+y²/b²=1，(a>b>0).
∵所求椭圆与已知椭圆的焦点相同，
∴a²-b²=4，

所求椭圆C的方程为x²/(b²+4)+y²/b²=1，(b>0)
要使椭圆C的长轴最短，则直线L′：x+y=9与椭圆C相切.

列方程组：x²/(b²+4)+y²/b²=1，及x+y=9，
消去y，得x²/(b²+4)+(x-9)²/b²=1，
整理得，(2b²+4)x²-18(b²+4)x+(b²+4)(81-b²)=0
∴△=324(b²+4)²-8(b²+2)(b²+4)(81-b²)=0
81(b²+4)-2(b²+2) (81-b²)=0
81b²+324+2b^4-162b²-324+4b²=0
2b^4-77b²=0
b²=77/2，
a²=b²+4=85/2，

∴椭圆C的方程为(2x²/85)+(2y²/77)=1.

Answer 2

e23=x-y=4a