Question

若关于x的不等式2-|x-a|>x^2至少有一个负数解，那么实数a的取值范围是

若关于x的不等式2-|x-a|>x^2至少有一个负数解，那么实数a的取值范围是

Answer 1

若关于x的不等式2-|x-a|>x^2至少有一个负数解，那么实数a的取值范围是:

x^2+|x-a|-2<0,
若x≥a, x^2+x-a-2<0;若x<a,x^2-x+a-2<0.
若x≥a,
x^2+x-a-2=x^2+2*(1/2)x+1/4-1/4-a-2=(x+1/2)^2-(a+9/2)<0,
(x+0.5)^2<a+9/2,
-√(a+9/2)<x+0.5<√(a+9/2),
-0.5-√(a+9/2)<x<-0.5+√(a+9/2),
为了使不等式解有意义，必须a≥-9/2=-4.5,
其解既可能是负数也有正数。
要使解中有负数，-0.5-√(a+9/2)<0 且 x≥a,
√(a+9/2)>-0.5,只要a≥-4.5时 该不等式恒成立；

若x<a,x^2-x+a-2<0，
x^2-x+a-2=x^2-2*0.5x+0.25-0.25+a-2=(x-0.5)^2-(2.25-a)<0，
(x-0.5)^2<(2.25-a),
-√(2.25-a)<x-0.5<√(2.25-a),
0.5-√(2.25-a)<x<0.5+√(2.25-a)，
为了使不等式解有意义，必须a≤2.25,
其解既可能是负数也有正数。
要使解中有负数，0.5-√(2.25-a)<0 且 x<a,
√(2.25-a)>0.5,2.25-a>0.25,a<2.

前后两者解结合在一起：
-4.25≤a<2,可以保证x的解至少有一个负数解，也保证了两个根号有意义的限制：a≥-4.5及a≤2.25。

Answer 2

当x>a, x^2+|x-a|-2<0
x^2+x-a-2<0
△=1^2+4(a+2)≥0 得：a≥-9/4
x=[-1±√(4a+9)]/2
为保证有负值要求：√(4a+9)<1
4a+9<1
a<-2 得：-2>a≥-9/4
当x<a时，x^2-x+a-2<0
△=（-1）^2+4(a-2)≥0 得a≥7/4
x=[1±√(4a-7)]/2
为保证有负值要求：√(4a-7)<1
4a-7<1
a<2
得：2>a≥7/4