Question

定义在R上的函数F(X)对一切实数X,Y都满足F(X)不等于0，且F(X+Y)=F(X)乘F(Y)，已知F(X)在（X>0）上的值域为

最后一句改为 已知F(X)在（X>0）上的值域为（0，1），求其在R上的值域为？

Answer 1

在恒等式f(x+y)=f(x)f(y)中，
令x=y=0，得f(0)=f(0)f(0)
∵由题意，f(x) ≠0，
∴f(0) ≠0
故f(0)=1

再令y= -x，
得f(0)=f(x)f(-x)
∴f(-x)=1/f(x)

设x<0，则-x>0，
由题意，当x>0时，0<f(x)<1，
∴0<f(-x)<1，
即0<1/f(x)<1，
∴f(x)>1，
即当x<0时，f(x)>1，

综上，当x<0时，f(x)>1；当x=0时，f(x)=1；当x>0时，0<f(x)<1，
∴当x∈R时，f(x)的值域为（0，＋∞）.

Answer 2

（0，+∞）

令y=0，则F（x）=F(x+0)=F(x)·F(0)
∵f(x)≠0
∴f(0)=1
令x=-y，则F(0)=F(x)·F(y)
即f(x)=1/f(-x)
当x＜0时，-x＞0，∴0＜f(-x)＜1
则f(x)=1/f(-x）＞1
∴函数在R上的值域为（0，+∞）

Answer 3

我觉得F（x）是一个指数函数，然后由于题目没有出完，所以不能求