Question

求解一道小学奥数题

包包给自行车装配8档变速齿轮装置，她选择了两个不同的前齿轮，它们的齿数在40和60之间（包含40和60），以及四个不同的后齿轮，齿数在5到35之间（包含5和35），齿轮的传动比等于前齿轮的齿数除以后齿轮的齿数。例如，如果她选择了45和55个齿数的前齿轮，还选择了8、13、18、22个齿数的后齿轮，那么得到的8个传动比就是45/8、45/13、45/18、45/22、55/8、55/13、55/18、55/22。选择不当的话，某些传动比就会相同（例如45/18=55/22），就得不到8个不同的传动比。如果包包选择不当，她得到的不同传动比的最小数目是多少个？此时后齿轮中最大齿数是多少？

Answer 1

不妨设选择前齿轮为X 和MX时，后齿轮由小到大ABCD
则有：
X/A ,X/B ,X/C ,X/D
MX/A ,MX/B ,MX/C ,MX/D

易知X/D（最小）、MX/A（最大）绝对不会等于其他任何比例的。
因此要出现最小数目，当且仅当
X/A = MX/B ，MA = B
X/B = MX/C , MB = C
X/C = MX/D , MC = D

就要找适当的比例M和起始数A，使得MA M^2A M^3A都属于5到35之间的整数。

令得M = 1 + 1/N = (N+1)/N 的形式（因M ≥ 2时，A最小为5，此时M^3A最小 = 40超出范围）

就需要A/N、A/N^2、A/N^3是整数，
因此有A最小为8，N为2，这ABCD就是：
8、12、18、27

此时对前齿轮X的要求就是X、3X/2都是属于40到60间的整数。只能取(40,60)，因X＞40时，3X/2＞60。

综上，此种选择得到的档位（传动比）最小，为5种。
此时后齿轮中最大的齿数就是27。

Answer 2

解：
根据题意，
不妨设选择前齿轮为X 和MX时，
后齿轮由小到大ABCD，
则8档变速齿轮的转动比为：
X/A 、X/B、X/C 、X/D、MX/A 、MX/B 、MX/C 、MX/D
（其中M>1)人
易知X/D（最小）、MX/A（最大）绝对不会等于其他任何比例的,说明不同传动比的最小数目大于2种。
当X/A = MX/B ，即MA = B；X/B = MX/C ,即 MB = C；X/C = MX/D , 即MC = D同时成立时，不同传动比的最小数目最小，为5种。

接下来就要找适当的比例M和起始数A，使得A、MA、 M^2A、 M^3A（即A、B、C、D）都属于5到35之间的整数。
当A=8，M=3/2时，A、B、C、D分别为8、12、18、27符合条件，所以如果包包选择不当，她得到的不同传动比的最小数目是5种。 此时后齿轮中最大齿数是27个。

本题可到此完成。这里的A=8，M=3/2只是观察所得，要进一步了解，分析计算方法如下：
因为如果M ≥ 2时，A最小为5，此时M^3A最小 = 40超出5-35的范围，
所以1<M<2，
这时可令M = 1 + 1/N = (N+1)/N ，（其中N>=2的正整数）
代入MA、 M^2A、 M^3A（即B、C、D），得：
B=[(N+1)/N]*A，C=[(N+1)/N]^2*A，C=[(N+1)/N]^3*A
因为B、C、D是整数，而（N+1)和N互质，就需要A/N、A/N^2、A/N^3是整数，
当N=2时,A/N、A/N^2、A/N^3为A/2、A/4、A/8,A=8时B、C|、D是整数且符合题意；
当N=3时,A/N、A/N^2、A/N^3为A/3、A/9、A/27,A=27，B、C|、D虽是整数但C、D超出5-35，不符合题意；
当N=4时,A/N、A/N^2、A/N^3为A/4、A/16、A/64,A=64，A、B、C|、D都超出5-35，不符合题意；

因此有A为8，N为2，这A、B、C、D就是：8、12、18、27。她得到的不同传动比的最小数目是5种，此时后齿轮中最大齿数是27个。

此时对前齿轮X的要求就是X、3X/2都是属于40到60间的整数。只能取(40,60)，因X＞40时，3X/2＞60。

Answer 3

27

Answer 4

最小5，最大27