Question

已知点p是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB,PC.若PA的平方加PC的平方等于2PB的平方

说明点PB必在对角线AC上
点PB除了B

Answer 1

P是正方形ABCD内一点，连AP.PC,PB,若PA^2+PC^2=2PB^2,请说明，点P必在对角线AC上

解 以B为旋转中心，将ΔBAP顺时针旋转90°，此时A→C， P→Q。
连BQ，CQ，PQ，则AP=CQ，BP=BQ，ΔPBQ为等腰直角三角形，即得:
PQ^2=2PB^2=2BQ^2.
∠BPQ=∠BQP=45°
而题设条件是:PA^2+PC^2=2PB^2
所以PQ^2=PA^2+PC^2=CQ^2+PC^2，
故∠PCQ=90°.
因为∠PBQ=∠PCQ=90°，所以P,B,Q,C四点共圆，
故得:∠BCP=∠BQP=45°.
因此P点在对角线AC上。

参考:
P是正方形ABCD内一点，连AP.PC,PB,若PA^2+PC^2=2PB^2,请说明，点P必在对角线AC上

解 以B为旋转中心，将ΔBAP顺时针旋转90°，此时A→C， P→Q。
连BQ，CQ，PQ，则AP=CQ，BP=BQ，ΔPBQ为等腰直角三角形，即得:
PQ^2=2PB^2=2BQ^2.
∠BPQ=∠BQP=45°
而题设条件是:PA^2+PC^2=2PB^2
所以PQ^2=PA^2+PC^2=CQ^2+PC^2，
故∠PCQ=90°.
因为∠PBQ=∠PCQ=90°，所以P,B,Q,C四点共圆，
故得:∠BCP=∠BQP=45°.
因此P点在对角线AC上。

附证:
2PB^2=PA^2+PC^2=(PA+PC)^2-2PA*PC
>=AC^2-2PA*PC=2AB^2-2PA*PC,
所以得:
PB^2>=AB^2-PA*PC. (1)
当P在AC上，根据Stewart定理得:
PB^2=AB^2-PA*PC. (2)
故满足:PA^2+PC^2=2PB^2，试P在对角线AC上