Question

下面这个数列的极限怎么求？

Answer 1

∵ 0<a<1 , 0<1-a<1
t->0时， （1+t)^a - 1 ~ at

lim(n->∞) [(n+1)^a - n^a]
=lim(n->∞) n^a*[(1+1/n)^a - 1]
=lim(n->∞) n^a*a*1/n
=lim(n->∞) a* 1/n^(1-a)
= 0

Answer 2

(n+1)^a - n^a > 0.

设 f(x) = x^a.

存在 xn ∈(n, n+1) 使得
(n+1)^a - n^a = f（n+1)-f(n)
=f'(xn) * (n+1 -n)
= a/(xn)^(1-a)
< a/n^(1-a) --> 0 当 n --> 无穷大。

所以极限为0.