Question

若AB为⊙O的任意弦，如图所示，∠B=∠CAD,求证：AC是⊙O的切线

Answer 1

连接AO，并延长交⊙O于E，连接BE
∵AE是⊙O的直径
∴AB⊥BE，即∠EBD+∠ABD=90°
又∵∠EAD=∠EBD，∠ABD=∠CAD
∴∠EAD+∠CAD=90°
即OA⊥AC
∴AC是⊙O的切线

Answer 2

证明：作直径AE，连接ED
则∠EDA=90º，∴∠E+∠EAD=90º
已知∠CAD=∠B，而∠B=∠E
∴∠CAD=∠E
∴∠OAC=∠CAD+∠EAD=∠E+∠EAD=90º
故AC是⊙O的切线

Answer 3

△cae相似△cba
ac^2=cb*ca=co^2-oa^2
△oae是RT三角形
oa垂直ac
ac是是⊙O的切线

Answer 4

证：
连OA，OD，三角形OAD为等腰三角形，∠OAD=∠ODA。
则∠AOD=2∠B，（圆周角等于圆心角的一半）
由三角形内角和定理，∠AOD+∠OAD+∠ODA=180，
即2∠B+2∠OAD=180，所以∠B+∠OAD=90，
又因为∠B=∠CAD，等量代换得到：∠CAD+∠OAD=90，
所以OA垂直于AC，所以AC是⊙O的切线
得证