Question

【高二数学】关于一道数列极限题！！！

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S3=9,又设bn=an*q^n（n∈N*）,其中常数q满足lim(1+q+q^2+...+q^n)=3/2，试求数列{bn}的前n项和Sn*及limSn*

求思路及主要过程，万分感谢！

Answer 1

S3=3a1+3d=9,a3=a1+2d=3解得:a1=1,d=2
则an=1+2(n-1)=2n-1
有因为lim(1+q+q^2+...+q^n)=lim(1-q^n)/(1-q)=1/(1-q)=3/2得q=1/3则bn=an*q^n=(2n-1)(1/3)^n=2n/3^n-1/3^n
设cn=2n/3^n,数列{cn}的前n项和Cn=2/3+(2*2)/3^2+...+(2*n)/3^n
Cn/3=2/3^2+(2*2)/3^2+...+(2*n)/3^(n+1)
两式相减得：Cn=3/2(1-1/3^n)-n/3^n
则数列{bn}的前n项和
Sn*=Cn-(1/3+1/3^2+...+1/3^n)=3/2(1-1/3^n)-n/3^n-(1/2(1-1/3^n))=1-1/3^n-n/3^n
limSn*=1

Answer 2

S=1+...=3/2
qS=...=3/2q
所以S-qS=1=3/2(1-q)
所以q=1/3

设a1=x,则a2=S3-a1-a3=4-x
由题意得，4-x-x=5-(4-x)
解得x=1
则d=2

所以Bn=(2n-1)*(1/3)^n
{bn}={1/3,1/3,5/27,....}
Sn*=(1+1+(n-1)*2)*n/2=n^2
那么limS*不存在（增函数）