Question

高一数学，指数函数问题~~~

以知函数 2^x-1 试讨论函数f(x)的单调性~~~~~麻烦写得详细一点~~~~
f(x)= ——
2^x+1

Answer 1

f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)
∵ y=2^x+1是单调增函数
∴2/(2^x+1)是单调减函数
∴-2/(2^x+1)是单调增函数
f(x)是单调增函数

Answer 2

令a=2^x
则y=f(x)=(a-1)/(a+1)
=(a+1-2)/(a+1)
=(a+1)/(a+1)-2/(a+1)
=1-2/(a+1)

a=2^x是增函数
所以a+1是增函数
则1/(a+1)是减函数
-2/(a+1)是减函数
1-2/(a+1)是减函数
所以f(x)是减函数

Answer 3

解：
f(-x)=[2^(-x)-1]/[2^(-x)+1]=(1-2^x)/(1+2^x)=-(2^x-1)/(2^x+1)=-f(x)
函数为奇函数。
x>0时，
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=(2^x+1-2)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)
对于指数函数2^x+1，随着x增大，2^x+1单调递增，2/(2^x+1)单调递减，1-2/(2^x+1)单调递增。f(x)单调递增，
由奇函数性质知,x≤0时，f(x)同样单调递增。

f(x)单调递增。

Answer 4

解：
f(-x)=2^(-x)-1/2^(-x)+1=(1-2^x)/(2^x+1)=-f(x)
f(0)=0
所以f(x)为奇函数
当x>=0时，对于x1,x2(x1<x2)
f(x1)-f(x2)=(2^x1-1)/(2^x1+1)-(2^x2-1)/(2^x2+1)=(2^x1-2^x2)/(2^x1+1)(2^x2+1)<0
所以x>=0时，f(x)为增函数，且f(x)>=0。
又因为f(x)为奇函数,所以当x<0时，f(x)也为增函数
所以f(x)为单调递增函数。