Question

如图，AB是圆O的直径，C是弧BD的中点，CE垂直AB垂足为E，BD交CE于点F(1)求证CF=BF

2)若AD=2，圆O的半径为3，求BC的长

Answer 1

证明：
连接AC，则∠ACB=90°，易证∠BCF=∠BAC
∵C是弧BD的中点
∴弧BC=弧CD
∴∠BAC=∠CBF
∴∠CBF=∠BCF
∴BF=CF
连接OC，交BD于点M
∵C是弧BD的中点
∴OC⊥BD
则OM=1/2AD =1
∴CM =2
根据勾股定理BD=4√2
∴BM=2√2
∵CM=2
∴BC=2√3

Answer 2

证明：（1）连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF（4分）

作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12（9分）
BC=±2根号3（舍去负值）
∴BC=2倍根号3